动手学深度学习 7.8 Adam算法

发表于 2026-02-07 更新于 2026-02-15

前言

从零开始学习ai文章系列计划是个人在《动手学深度学习》和《磨菇书》两本书的学习中的个人笔记，文章也会以课本中的章节分开，即每个章节一片笔记。我会尽量的把主要内容以及遇到的难点进行记录与解决，如果哪里有错误的欢迎指正。或者不清晰的可以直接查看原文部分。

《动手学深度学习》原文（课本）：https://tangshusen.me/Dive-into-DL-PyTorch/#/

《动手学深度学习》代码：https://github.com/ShusenTang/Dive-into-DL-PyTorch

（由于有时候公式太多，可能会直接贴图片）

Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均 [1]。下面我们来介绍这个算法。

所以Adam算法可以看做是RMSProp算法与动量法的结合。

1. 算法

Adam算法使用了动量变量\(v_t\) 和RMSProp算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量\(s_t\) ，并在时间步0将它们中每个元素初始化为0。

给定超参数 \(0≤β_1<1\)（算法作者建议设为0.9），时间步t 的动量变量\(v_t\) 即小批量随机梯度\(g_t\) 的指数加权移动平均：

和RMSProp算法中一样，给定超参数 \(0≤β_2<1\)（算法作者建议设为0.999），将小批量随机梯度按元素平方后的项 \(g_t⊙g_t\) 做指数加权移动平均得到 \(s_t\) ：

由于我们将 \(v_0\) 和 \(s_0\) 中的元素都初始化为0，在时间步t 我们得到 \(v_t=(1-\beta_1)\sum_{i=1}^{t} {\beta^{t-i}_1g_i}\)

将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到 \((1-\beta_1)\sum_{i=1}^{n} {\beta^{t-i}_1} = 1-\beta^t_1\) (等比公式求和)

需要注意的是，当t较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如，当β1=0.9时，\(v_1=0.1g_1\) 。为了消除这样的影响，对于任意时间步t，我们可以将vt再除以 \(1-\beta^t_1\) 从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1。这也叫作偏差修正。

\(v_t\) 是“加权和”。因为权重总和等于 \(1-\beta^t_1\) ，而不是 1，所以必须除以它，才是 unbiased 的平均。

在Adam算法中，我们对变量 \(v_t\) 和 \(s_t\) 均作偏差修正： \[ \begin{align*} \hat{v_t} \leftarrow \frac{v_t}{1-\beta_1^t} \\ \hat{s_t} \leftarrow \frac{s_t}{1-\beta_2^t} \end{align*} \] 接下来，Adam算法使用以上偏差修正后的变量 \(\hat{v_t}\) 和 \(\hat{s_t}\) ，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整： \[ g'_t \leftarrow \frac {\eta \hat{v_t}}{\sqrt{\hat{s_t}}+\epsilon} \] 其中η是学习率，ϵ是为了维持数值稳定性而添加的常数，如 \(10^{-8}\) 。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用 \(g'_t\) 迭代自变量： \[ x_t \leftarrow x_{t-1}-g'_t \]

Adam 通常默认： \[ \begin{align*} \\ \eta &=0.001 \\ 𝛽_1&=0.9 \\ 𝛽_2&=0.999 \\ \end{align*} \]

2. 从零开始实现

我们按照Adam算法中的公式实现该算法。其中时间步t通过hyperparams参数传入adam函数。

features, labels = d2l.get_data_ch7()

def init_adam_states():
    v_w, v_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)
    return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))

def adam(params, states, hyperparams):
    beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6
    for p, (v, s) in zip(params, states):
        v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad.data
        s[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.data**2
        v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])
        s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])
        p.data -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr) + eps)
    hyperparams['t'] += 1